札记（33）▏从一到无穷大、费马大定理
从一到无穷大
光从太阳中心到达表面需要50个世纪，而在进入到真空的行星际空间并沿着一条直线前行之后，它只需要8分钟就能完成从太阳到地球的整个距离！
我们可以说，“所有依赖于分子不规则运动的物理过程都是朝着概率递增的方向发展的，当不受外界力量干扰时，其平衡状态就是概率最大的那种可能性”。正如我们从室内空气的例子中所看到的那样，由于所有分子分布的概率结果通常是麻烦的小数字（例如，空气都集中在房间的一边的概率是 ），因此人们习惯上使用它们的对数来代替。这个量被称为“熵”，其在所有与物质的不规则热运动有关的问题中起着突出的作用。上述关于物理过程中的概率变化的陈述现在可以改写为：“物理系统中的任何自发变化都是朝着增加熵的方向发生的，而最终的平衡状态对应于熵的最大可能值。”
熵定律也可称为“递增无序定律”，因为正如我们在上面给出的例子中所看到的，当分子的位置和速度完全随机分布时，熵达到最大，因此任何试图使其运动遵循某种顺序的尝试都会导致熵的减小。从热转化为机械运动的问题中可以发现另一种更实用的熵定律的表述方式。大家如果还记得热实际上就是分子无序的机械运动，那么就不难理解，将给定物质体所含的热能完全转化为大规模运动的机械能，相当于迫使该物体的所有分子朝着同一方向运动。然而，在玻璃杯中上半部分的水可能会自发喷射向天花板的例子中，我们已经看到，这种现象发生的可能性微乎其微，足以证明其不可能在现实中发生。因此，“虽然机械运动的能量可以完全转化为热量（例如，通过摩擦），但热能永远不能完全转化为机械运动”，这就排除了所谓的“第二类永动机”的可能性，即在常温下从物质体中提取热量，使它们冷却下来，并利用所获得的能量进行机械工作。例如，我们不可能造出这样一条蒸汽船，其蒸汽不是通过燃烧煤产生的，而是通过从海水中提取热量而产生的，海水首先被泵入机舱，热能被提取出后，以冰块的形式被扔出船外。
我们可以降低系统中某一部分的熵，只要有另一个部分能够相对平衡地使熵增加。换句话说，“就分子的无序运动而言，我们可以在某个区域中建立某种秩序，只要我们不介意这同时会使其他区域的运动更加无序”。正如在所有类型的热引擎中一样，在很多实际情况中，我们还真的不介意。
熵定律及其结果完全立足于以下事实：在物理学中，我们总是与数不胜数的分子打交道，所以根据概率理论所做出的预测几乎是完全准确的。然而，当我们研究非常少量的物质时，这种预测变得相当不确定。
在小范围内，分子在空气中的分布是很不均匀的。如果能达到足够的放大倍数，我们就可以观察到，在气体中有多处由分子瞬间形成的聚集点，只是这些分子又会散开，并很快在其他地方形成类似的聚集点。这种效应被称为“密度起伏”，在许多物理现象中起着重要的作用。例如，当太阳光穿过大气层时，这些不均匀现象造成光谱中蓝色光线的散射，因而天空就变成了我们熟悉的颜色，太阳也看上去比实际更红。这种变红的效果在日落时尤为明显，因为此时太阳光线必须穿过较厚的空气层。如果没有这些密度的起伏，天空将永远是一片漆黑，白天也可以看到星星。
我们现在思考一下，对于统计上的起伏占据了主导作用的这些小物体，熵定律是否适用呢？当然，细菌的一生都在被分子抛来撞去，其必然对热不能转化为机械运动的说法嗤之以鼻！但是，与其说是这种情况违反了熵定律，不如说是熵定律不适用于这种情况。事实上，这个定律说的是，分子运动不能完全转化为包含大量分子的大物体的运动。对于一个并不比分子本身大“很多”的细菌来说，热运动和机械运动之间实际上已经没有差别，细菌受到的来自其周围分子的碰撞推挤，与我们在激动的人群中受到的来自旁边的人的推搡是一样的。如果我们是细菌，我们只要把自己绑在飞轮上，应该就能制造出第二种永动机，可惜那时我们应该也没有大脑了，无法利用它来发挥我们的优势。因此，大家完全不必为我们不是细菌而感到遗憾！
活的有机体中有一个似乎与熵增定律相矛盾的现象。生长中的植物吸收简单的二氧化碳分子（来自空气）和水分子（来自土壤），并将它们合成构成植物体的复杂的有机分子。从简单分子到复杂分子的转变意味着熵的减少；事实上，正常的熵增加的过程是燃烧木材并将其分子分解成二氧化碳和水蒸气。植物真的与熵增定律相矛盾吗？真的有一些如古代哲学家所提倡的神秘的“生命力”（Vis Vitalis）来帮助它们生长吗？ 对这一问题的分析表明，这两者之间不存在矛盾，因为除了二氧化碳、水和某些盐类外，植物的生长还需要充足的阳光。能量储存在植物体中，当植物燃烧时可能被再次释放，除此之外，太阳光还携带着所谓的“负熵”（低熵），当光被绿叶吸收时，这种熵就消失了。因此，植物叶片中发生的光合作用涉及两个相关的过程：（a）将太阳光的光能转化为复杂有机分子的化学能；（b）利用太阳光携带的低熵，来降低简单分子生成复杂分子过程中的熵。从“有序与无序”的角度来说，人们可以说，当光被绿叶吸收时，太阳的辐射被剥夺了它到达地球的内部秩序，而这个秩序被传达给分子，允许它们被合成更复杂、更有序的结构。植物从太阳光中获取负熵（秩序），继而吸收无机化合物得以生长，而动物必须吃植物（或彼此）才能获得这种负熵，可以说，成为阳光负熵的二手使用者。
根据观测出的地球与天鹅座61星间的距离，贝塞尔计算出，对于我们而言，这颗就像一个小小的发光点的恒星，在漆黑的夜空下静静闪烁，却原来是一个巨大的发光体，其体积只比我们的太阳小30%，也只比它暗一点点。而这直接支撑了早先哥白尼提出的一项革命性观点，即我们的太阳只不过是那散布于无垠空间之中，彼此相距甚远的无数恒星中的一颗而已。
从银河系的方向看去，我们仿佛置身在一片森林中，视线中是无数的树枝相互交叠，形成一个连续的背景；而在其他方向上，我们看到的却是星星间的空白，这跟我们透过头顶的枝叶看到是斑驳的蓝天一个道理。所以，我们知道太阳只是茫茫恒星宇宙中一个微不足道的成员而已，它所占据的只是一个平坦的空间区域，而在银河系上延伸出了很长的一段距离，但相对来说，在垂直于这块平面的方向上，这段距离也不算远。 经过几代天文学家的细致研究，我们最终得出结论，银河系内有大约40 000 000 000颗独立的恒星，分布在一个直径约10万光年的透镜状区域内，其厚度约为5000到10 000光年。此外，研究还表明太阳根本不在此巨型的恒星社会的中心部位，而是位于其边缘的附近。如此说来，这还真是给人类强烈自尊心的一记耳光啊！
现在只要能将恒星运动的奥尔特效应精确测量出来，我们就能求出使恒星的轨道的大小并确定其运行的周期。利用这种算法，我们求出了以射手座为中心的太阳的轨道半径为30000光年，约等于整个银河系半径的三分之二。而太阳绕银河系中心运行完整一圈所需的时间大约是2亿年。当然，这段时间很长，但我们同样要记得，我们所处的这个恒星系大约有50亿年的历史了。且截至目前，我们的太阳及其行星家族已经完成了约20次完整的圆周运动。如果按照地球年的说法，太阳公转一周称为“太阳年”，那么我们可以说，我们的宇宙也不过20岁而已。而事实上，在恒星世界中，事情以十分缓慢的速度发生，故而，作为记录宇宙历史的一个时间单位，太阳年倒显得十分方便了。
若就像现在，每颗恒星都有自己的行星系统的话，那么光是银河系内部，必然有数百万颗行星在运转，且它们的物理条件基本上与地球一致。但如果在这些“可居住”的世界中，还寻不到发展到最高形态的生命，那就真的是怪事一件了。
事实上，正如我们在第九章中看到的那样，最简单的生命形式，像是各种类型的病毒，实际上都只是结构复杂的分子，且主要由碳、氢、氧、氮等原子组成。而这些元素不论以什么样的形式都大量地存在于行星的表面，故我们有理由相信，地球的固体地壳一旦形成，大气中的水蒸气也沉淀下来汇聚到储水层中后，迟早会有一些这样的分子在偶然的时机由必要的原子按照必要的组合规律形成。不过，可以肯定的是，由于活性分子复杂性的存在，使得它们意外形成的概率非常低，这个概率甚至已经低到了跟我们想晃动手中的七巧板就一定要得到某个想要的拼图的概率一样。当然，我们也不能忘记，无数原子在不断相撞，相撞的时间又很长，故预期的结果总会出现的。从地球的历史来看，地壳形成后不久就出现了生命，这一事实表明，尽管看起来很不可思议，但的确，在几亿年的时间里要靠偶然性形成一个复杂的有机分子是十分有可能的。一旦新行星的表面出现了最简单的生命形式，随着其有机繁殖过程及逐渐演化的发展，越来越复杂的生物形式也得以形成。
那么，当恒星的氢燃料消耗殆尽时会发生什么呢？ 实际上，当长期维系恒星寿命的核能源消耗完之后，恒星的身体就会开始缩小，而密度却会越变越大。 通过天文观测，我们发现了大量的这类“收缩星”，它们的平均密度比水的密度要大上几十万倍。但即使如此，它们还是热得不行，由于表面温度一直居高不下，所以就算燃料已然消耗殆尽，它们还是会发出闪耀的白光，而这白光却与主要序列恒星中发出黄光或红光的恒星形成了鲜明对比。但也由于这些恒星的小体积，使得它们能发出的总亮度相当低，只是太阳的几千分之一。由此，天文学家就把这些演化到后期的恒星称为“白矮星”，其中的“矮”字既指它体积上的大小，也暗指其光度上的大小。渐渐地，随着时间的流逝，白矮星会慢慢失去自己往日的光辉，并最终变成“黑矮星”—这是普通天文工具无法观测到的，它们是由大量的冷物质组成的一类天体。
费马大定理
毕达哥拉斯撰造了一个名词“哲学家”（philo-sopher），与此同时规定了他的学派的目标。在一次出席奥林匹亚竞技会时，弗利尤斯（Phlius）的利昂（Leon）王子问毕达哥拉斯他会如何描述他自己，毕达哥拉斯回答道：“我是一个哲学家。”但是利昂以前没有听说过这个词，因而请他解释。 利昂王子，生活正好比这些公开的竞技会。在这里聚集的一大群人中，有些人受奖励物的诱惑而来，另一些人则因对名誉和荣耀的企求和受野心的驱使而来，但他们中间也有少数人来这里是为了观察和理解这里发生的一切。 生活同样如此。有些人因爱好财富而被左右，另一些人因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方面都是很有智慧的，但是他能热爱知识，视其为揭开自然界奥秘的钥匙。
在现代数学中，零有两个功能。首先，它使我们得以区别52和502这样的数。在一个数的位置代表该数的值的体系中，需要有个记号来确认空着的位置。例如，52表示5倍的10加上2倍的1，而502表示5倍的100加上0倍的10再加上2倍的1，这里0对于消除含糊不清之处是关键的。甚至在公元前30世纪，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆，而希腊人则采用了他们的思想，使用了类似于我们今天所用的圆形记号。然而，零有着更为微妙和深刻的意义，这种意义在几个世纪以后才被印度的数学家们充分领会。印度人认识到零除了在别的数之间起空位作用外还有它独立的存在性——零本身理所当然地是一个数，它表示“没有”这个量。于是，“没有”这个抽象概念第一次被赋予一个有形的记号表示。 对当代的读者来说，这似乎是微不足道的一步，但是所有的古希腊哲学家，包括亚里士多德（Aristotle），却都否认零这个记号的深刻意义。亚里士多德辩解说，数零应该是非法的，因为它破坏了其他数的一致性——用零除任何一个普通的数会导致不可理解的结果。到了公元6世纪，印度数学家们不再掩盖这个问题，公元7世纪时的婆罗门笈多（Brahmagupta）是个足智多谋的学者，他把“用零除”作为无穷大的定义。
把新的数当做被“发现”出来的，这在现在看来是有点奇怪的，主要因为我们现在是如此地熟悉我们经常使用的这些数，以致忘记了这些数中的某些数曾有一段时间是人们不知道的。负数、分数和无理数都是被发现出来的，每一次发现这种数都是为了回答不这样就无法回答的问题。
数学在科学技术中有它的应用，但这不是驱使数学家们的动力。激励数学家们的是因发现而得到的乐趣，G. H.哈代在《一个数学家的自白》中试图解释并说明他自己从事数学生涯的理由： 我只想说，如果弈棋中的问题（用粗俗的说法）是“无用的”，那么对于绝大多数最出色的数学来说也同样是如此……我从未完成过任何“有用处”的工作。在我做出的发现中没有一个使世界的舒适方便发生过或者可能发生丝毫的变化，不管是直接的还是间接的，有益的还是有害的。从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零；在数学圈之外，它不管怎样是没什么价值的。我只有一种选择才能免得被裁决为完全无价值，那就是可以认为我创造了某些值得创造的东西。我创造了某些东西这一点是无可否认的，问题是它们有多大的价值。
解答某个数学问题的欲望多半是出于好奇，而回报则是因解决了难题而获得的单纯而又巨大的满足感。数学家蒂奇马什（E. C. Titchmarsh）有一次说过：“弄清楚π是无理数这件事可能是根本没有实际用处的，但是如果我们能够弄清楚，那么肯定就不能容忍不去设法把它弄清楚。”
哈佛大学的巴里·梅休尔（Barry Mazur）教授目睹了谷山－志村猜想的产生。“这是一个神奇的猜想——推测每个椭圆方程伴随着一个模形式——但是一开始它就被忽视了，因为它太超前于它的时代。当它第一次被提出时，它没有被着手处理，因为它太使人震惊。一方面是椭圆世界，另一方面是模世界，这两个数学分支都已被集中地但分别研究过。研究椭圆方程的数学家可能并不精通模世界中的知识，反过来也是这样。于是，谷山－志村猜想出现了，这个重大的推测说，在这两个完全不同的世界之间存在着一座桥。数学家们喜欢建造桥梁。” 数学中的桥有着巨大的价值。它们使生活在孤岛上的各个数学家社团能交流想法，探讨彼此的创造。数学是由未知海洋中的一个个知识孤岛组成的。例如，在那里有一个几何学家占据的孤岛，他们研究形状和形式；也有一个概率论的孤岛，数学家们在那里讨论风险和机遇。有着几十个这样的孤岛，每个孤岛上使用它们各自独特的语言，这种语言别的岛上的居民是不懂的。几何学的语言与概率论的语言有很大的差异，而微积分中的术语对于那些只讲统计学语言的人是没有意义的。
如果谷山－志村猜想是对的，它将使数学家们能利用通过模世界处理椭圆问题的方法来解决许多世纪以来未解决的一些椭圆问题。希望在于椭圆方程和模形式这两个领域能够统一起来。这个猜想也使人产生这样的希望：在其他的不同数学学科之间可能存在着连接的链环。 20世纪60年代，普林斯顿高等研究院的罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）被谷山－志村猜想所具有的潜力吸引。尽管这个猜想尚未被证明，朗兰兹相信它只不过是一个更为宏伟得多的统一化计划中的一个环节。他确信在所有主要的数学课题之间存在连接的链环，并开始寻找这些统一的链环。几年之后，许多链环开始涌现出来。所有的这些统一化猜想比谷山－志村猜想要弱得多，并且更为不确定，但是它们形成了由存在于许多数学领域之间的假设性联系组成的一个错综复杂的网络。朗兰兹的梦想是看到这些猜想一个接一个地被证明，最终形成一个宏伟的统一的数学。
一个高超的问题解答者必须具备两种不协调的素质——永不安分的想象和极具耐心的执拗。 ——霍华德·W.伊夫斯
在对论文的介绍中，刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思： 过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做。事实上，当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡尔说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”伽罗瓦太不把这条箴言放在心上，而我们可以理解，这些杰出的数学家想必认为，通过他们审慎的忠告所表现的苛刻，设法使这个充满才华但尚无经验的初出茅庐者转回到正确的轨道上来是合适的。他们苛评的这位作者，在他们看来是勤奋和富有进取心的，他可以从他们的忠告中获益。 但是现在一切都改变了，伽罗瓦再也回不来了！我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西…… 我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后，我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦。
怀尔斯在牛顿研究所演讲后不到6个月，他的证明已破绽百出。多年的秘密演算给他带来的愉悦、激情和希望被烦恼和失望替代。他回忆说他童年的梦想已经变成一场噩梦：“在我从事这个问题的研究的头7年中，我很喜欢这种暗中进行的战斗。不管它曾是多么地艰难，不管它看上去是怎样地不可逾越，我与我心爱的问题密不可分。它是我童年时代的恋情，我绝不能放下它，我一刻也不想离开它。后来我公开地谈论它，在谈论它时确实有某种失落感。这是一种非常复杂的感情。看到其他人对证明作出反应，看到这些论证可能改变整个数学的方向，真是美妙极了，但是与此同时我却失去了我个人的追求。现在它已向世界公开，我已不再拥有我一直在编织着的个人的梦想。然后，在它出了问题以后，就有几十、几百、几千的人要使我分心。以那种过分暴露的方式做数学肯定不是我擅长的，我一点也不喜欢这种非常公开的做事方式。”
世界各地的数论家们对怀尔斯的处境表示同情。肯·里贝特自己在8年前也经历过同样的噩梦，当时他试图证明谷山－志村猜想和费马大定理之间的联系：“我在伯克利的数学科学研究所作了一个关于这个证明的演讲，听众中有人说：‘嗯，等一下，你怎么知道这样那样是正确的？’我马上答复并讲出我的理由，而他们说：‘那并不适合现在这个情形。’我顿时感到一阵恐慌，似乎感到有点出汗。我对此非常心烦意乱。然后我意识到只有一种做法有可能说明它是正确的，那就是返回到这个论题的基础工作，搞清楚它在类似的情形中是怎样完成的。我查阅了有关的论文，并弄清楚这个方法的确真的适用于我的情形。在一两天中我把所有的东西都搞好了，在我下一次演讲时我已能够讲出它成立的理由。尽管如此，你总是会担心：如果你宣布某个重要的结果，可能会被发现有基本的错误。 “当你发现原稿中有一个错误时，局势可能会以两种方式发展。有时候，大家会很快相信没有多大困难证明就可以重新改正；而有的时候情况会截然相反。这是非常令人不安的。当你认识到自己犯了一个基本的错误并且没有办法补救它时，会有一种往下沉没的感觉。当一个漏洞变大时，很可能定理真的就彻底地崩溃了，因为你越是想补上它，你遇到的麻烦就越多。但是从怀尔斯的情形来看，他的证明中的每一章本身就是很有意义的论文。这份手稿包括了7年的工作，它基本上是几篇重要的论文组合而成的，这些论文中的每一篇都有大量的成果。错误出现在其中一篇，即第三章中，但是即使你去掉第三章，剩下的部分仍然是绝对优秀的。”
不顾外界的压力，怀尔斯拒绝公开手稿。经过7年全力以赴的努力，他不准备垂手眼看着别人完成证明并攫取荣誉。证明费马大定理的人并不是投入心血最多的人；提交最终的完整的证明的人，才算是证明费马大定理的人。怀尔斯知道一旦手稿在还存在缺陷的情形下公开，他就会淹没在那些可能成为补缺者的人所提出的有待澄清的各种问题和要求之中，这些分心的事会毁灭他自己改进证明的希望，而同时却给别人提供了线索。 怀尔斯试图重新回到他做出原先那个证明时的孤独状态，恢复了他在自己的顶楼里认真研究的习惯。偶尔他也会在普林斯顿湖边闲逛，就像他过去所做的那样。那些以前经过他身旁时只简单地挥手致意的慢跑者、骑自行车者和划船人，现在都会停下来问他那个缺陷是否有所改进。怀尔斯曾在世界各地的报刊头版上出现过，《人物》杂志为他作过特写，甚至有线新闻电视网也曾采访过他。去年夏天怀尔斯成为世界上第一号数学名人，可是现在他的形象已经失去了光彩。
单靠岩沢理论不足以解决问题，单靠科利瓦金－弗莱切方法也不足以解决问题，它们结合在一起却可以完美地互相补足。这是怀尔斯永远不会忘记的充满灵感的瞬间，当他详细叙述这些时刻时，记忆如潮澎湃，激动得泪水夺眶而出：“它真是无法形容地美，它又是多么简单和明确。我无法理解我怎么会没有发现它，足足有20多分钟我呆望着它不敢相信。然后到了白天我到系里转了一圈，又回到桌子旁指望搞清楚情况是否真是这样。情况确实就是这样。我无法控制自己，我太兴奋了。这是我工作经历中最重要的时刻，我所做的工作中再也没有哪一件会具有这么重要的意义。”
怀尔斯意识到，为了把数学中最杰出的证明之一献给数学，他不得不使它丧失一个最迷人的谜：“人们对我说我夺走了他们想要解决的问题，他们问我是否我能给他们别的事情做做。确实有一种失落感。我们失去了曾经与我们相处这么长时间的某种东西，那种把我们中许多人引向数学的东西。也许这是研究数学问题必然会经历的过程。我们必须找到能吸引我们的新问题。” 尽管怀尔斯现在已经解决了数学中这个最著名的问题，但是世界上的解谜者们无须失去希望，因为还有大量未解决的数学难题。这些艰深的问题中有许多像费马大定理一样起源于占希腊的数学，并且中学生都能理解。
